Perkalian dan pangkat matriks

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Ani ingin tahu uang yang perlu dibawa. Satu pensil berharga 2 ribu dan satu buku 3 ribu rupiah. Biaya pensil Ani $2 \times 2 = 4$ ribu, biaya bukunya $1 \times 3 = 3$ ribu, sehingga totalnya $4 + 3 = 7$ ribu. Budi membayar $1 \times 2 + 1 \times 3 = 5$ ribu.

Perhatikan dua langkahnya: kalikan jumlah dengan harga barang yang cocok, lalu jumlahkan biaya semua barang. Itulah asal aturan baris–kolom pada perkalian matriks. Urutan harga harus sama dengan urutan barang.

Untuk memahami pangkat, bayangkan aturan paket: “tambahkan satu pensil untuk setiap buku”. Satu kali aturan mengubah $(p, b)$ menjadi $(p + b, b)$ ; dua kali menjadi $(p + 2 b, b)$ . Pangkat matriks akan menyatakan pengulangan aturan pada hasil sebelumnya, bukan menguadratkan setiap angka di tabel.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: harga pensil 2 ribu dan buku 3 ribu ditulis $h = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}]$ . Biaya Ani $2 (2) + 1 (3) = 7$ dan biaya Budi $1 (2) + 1 (3) = 5$ , sehingga

Q h = [\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix}] .

Inilah perkalian baris–kolom: setiap jumlah barang dipasangkan dengan harga barang yang sama, kemudian dijumlahkan. Jika $A$ berukuran $m \times r$ dan $B$ berukuran $r \times n$ , maka $A B$ berukuran $m \times n$ , dengan

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{r} a_{i k} b_{k j} .

Indeks $k$ menelusuri pasangan dalam satu baris dan satu kolom. Ukuran bagian dalam harus sama. $A B$ dapat terdefinisi sementara $B A$ tidak. Untuk matriks persegi, $A^{2} = A A$ , bukan kuadrat masing-masing unsur; $A^{0} = I$ .

Jembatan tambahan untuk pangkat: jika tabel aturan paket $T = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ mengubah pasangan jumlah $(p, b)$ menjadi $(p + b, b)$ , menjalankan aturan dua kali menghasilkan $(p + 2 b, b)$ . Karena itu $T^{2} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ . Pangkat berarti komposisi berulang. Matriks tak nol pun dapat memiliki pangkat nol, misalnya $N = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ memenuhi $N^{2} = O$ ; ini disebut nilpoten.