Perkalian silang, normal, dan luas

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Dua sisi lantai berukuran 3 meter ke kanan dan 4 meter ke depan, sehingga luas alas $3 \times 4 = 12$ meter persegi. Untuk memasang tiang, petugas juga memerlukan arah yang tegak lurus alas.

Perkalian silang dua vektor sisi menghasilkan vektor yang menjawab dua kebutuhan ini: arahnya tegak lurus kedua sisi, sedangkan panjangnya menyatakan luas jajaran genjang. Pada contoh, hasilnya $(0, 0, 12)$ .

Urutan sisi menentukan arah normal menurut aturan tangan kanan. Jika ditukar, hasilnya $(0, 0, - 12)$ ; luas tetap 12. Angka hasil silang sisi berunit meter bersatuan meter persegi: ia bukan tinggi tiang 12 meter. Jika bentuk yang dihitung segitiga dengan kedua sisi tersebut, luasnya setengah, yaitu 6 meter persegi.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: sisi lantai $a = (3, 0, 0)$ dan $b = (0, 4, 0)$ membentuk persegi panjang luas 12 meter persegi. Hasil silang $a \times b = (0, 0, 12)$ tegak lurus lantai dan panjangnya 12. Menukar urutan memberikan $(0, 0, - 12)$ : luas sama, arah berbalik.

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) .

Hasilnya tegak lurus kedua faktor; besarnya $∥ a ∥ ∥ b ∥ \sin θ$ . Silang antikomutatif $b \times a = - (a \times b)$ dan distributif, tetapi tidak asosiatif secara umum. Untuk vektor tak nol, hasil silang nol berarti sejajar. Luas jajaran genjang $∥ a \times b ∥$ dan luas segitiga setengahnya. Untuk segitiga titik $P, Q, R$ , gunakan dua sisi dari pangkal sama: $(q - p) \times (r - p)$ , bukan sembarang vektor posisi.

Menggabungkan titik dan silang (penjelasan tambahan). Pada soal dapat muncul tiga vektor sekaligus. Baca tanda dan kurungnya dahulu: hasil silang dua vektor masih berupa vektor, lalu hasil titik vektor ketiga dengannya menjadi satu bilangan. Bentuk ini disebut produk campuran:

a \cdot (b \times c) = det [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}] .

Cerita lanjutan dengan data simulasi: gunakan lantai yang sama, sisi kanan 3 meter dan depan 4 meter, lalu tinggi 2 meter. Ambil $a = (3, 0, 0), b = (0, 4, 0), c = (0, 0, 2)$ . Kerjakan bagian dalam dahulu: $b \times c = (8, 0, 0)$ . Selanjutnya $a \cdot (8, 0, 0) = 24$ . Nilai mutlaknya menyatakan volume balok 24 meter kubik; tandanya menyimpan orientasi urutan arah. Penjelasan volume ini membantu mengartikan hasil, sementara soal yang hanya meminta nilai produk campuran cukup dikerjakan dengan urutan operasi tersebut. Bedakan dengan $a \times (b \times c)$ , yang menghasilkan vektor dan tidak dihitung dengan rumus produk campuran skalar.