Konsistensi, peubah bebas, dan parameter

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Bayangkan catatan kedua hanya dua kali belanja Ani: 4 pensil dan 2 buku. Jika totalnya 14 ribu, catatan kedua mengulang informasi pertama. Pensil 2 dan buku 3 cocok, tetapi pensil 1 dan buku 5 juga cocok.

Untuk menulis seluruh kemungkinan, namai harga buku sementara sebagai $t$ . Dari $2 x + t = 7$ , harga pensil menjadi $(7 - t) / 2$ . Huruf $t$ disebut parameter, yaitu pilihan yang belum ditentukan oleh persamaan. Harga positif pada cerita memberi batas tambahan; pada SPL real murni, batas itu tidak otomatis berlaku.

Jika catatan kedua menyebut total 15, dua catatan justru bertentangan untuk barang yang sama. Tidak ada pasangan harga yang memenuhi keduanya. Keadaan ini disebut tidak konsisten. Jadi lebih banyak catatan belum tentu memberi lebih banyak informasi atau menjamin adanya jawaban.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: catatan $2 x + y = 7$ dan $4 x + 2 y = 14$ berulang; yang kedua tidak membantu membedakan harga. Ambil $y = t$ , maka $x = (7 - t) / 2$ . Jika pembayaran kedua justru 15, pengurangan memberi $0 = 1$ : tidak ada harga yang memenuhi kedua catatan.

Hasil eliminasi	Kesimpulan di bilangan real
Ada baris $[0 \dots 0 ∣ c]$ , $c \neq 0$	Tidak konsisten; tidak ada jawab
Konsisten dan semua peubah punya pivot	Tepat satu jawab
Konsisten dan ada peubah bebas	Tak hingga jawab

Dengan $n$ peubah, syarat konsisten adalah $rank (A) = rank ([A ∣ b])$ . Jika rank bersama $n$ , solusi tunggal; jika kurang dari $n$ , ada peubah bebas. Parameter mewakili bilangan real sembarang, bukan satu angka yang perlu ditebak.

Untuk koefisien berparameter, pisahkan nilai yang membuat pivot nol sebelum membaginya. Misalnya baris $(p^{2} - 9) z = p - 3$ : pada $p = 3$ menjadi $0 = 0$ , pada $p = - 3$ menjadi $0 = - 6$ , dan hanya untuk $p \neq \pm 3$ boleh dihitung $z = (p - 3) / (p^{2} - 9)$ .