Definisi, minor, kofaktor, dan ekspansi

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Sebelum mencari harga, kita ingin memeriksa apakah dua struk memberikan informasi berbeda. Untuk baris jumlah $(2, 1)$ dan $(1, 1)$ , hitungan silang $2 (1) - 1 (1) = 1$ merangkum kemampuan tabel persegi ini memisahkan kedua harga.

Jika baris kedua menjadi $(4, 2)$ , hitungannya $2 (2) - 1 (4) = 0$ : struk kedua hanya dua kali struk pertama. Bilangan hasil perhitungan khusus ini disebut determinan.

Untuk ukuran lebih besar, kita memecah perhitungan menjadi tabel lebih kecil. Hapus satu baris dan kolom, kemudian hitung determinan sisanya: itulah minor. Tambahkan tanda sesuai posisi untuk memperoleh kofaktor. Pada $Q$ , minor posisi $(1, 2)$ adalah 1 tetapi kofaktornya $- 1$ , sehingga ekspansi baris pertama adalah $2 (1) + 1 (- 1) = 1$ .

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: dua catatan $Q = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ memberi $det Q = 2 (1) - 1 (1) = 1$ . Jika baris kedua diganti menjadi dua kali baris pertama, determinannya nol. Kedua catatan kemudian kehilangan kemampuan memisahkan dua harga.

Determinan ukuran dua adalah $a d - b c$ . Untuk ukuran lebih besar, hapus baris $i$ dan kolom $j$ untuk memperoleh submatriks. Determinan submatriks tersebut adalah minor $M_{i j}$ . Kofaktor $C_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ menambahkan pola tanda selang-seling:

[\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix}] .

Ekspansi baris $i$ adalah $det A = \sum_{j} a_{i j} C_{i j}$ ; ekspansi kolom juga sah. Pilih baris atau kolom dengan banyak nol untuk menghemat hitungan. Aturan Sarrus khusus ukuran $3 \times 3$ , tidak boleh diperluas langsung ke ukuran empat.

Pada definisi umum determinan, setiap suku memilih satu unsur dari setiap baris dan setiap kolom; tanda ditentukan paritas permutasinya. Ini menjelaskan mengapa pertukaran dua baris mengubah tanda.