Adjoin, invers, dan aturan Cramer

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Kita kembali mencari harga dari pembayaran 7 dan 5 ribu. Kali ini kita ingin menyusun aturan balik dari kofaktor, bukan menebak harga.

Kofaktor tabel $Q$ adalah 1, $- 1$ , $- 1$ , dan 2 pada posisi masing-masing. Transpos tabel kofaktor menghasilkan adjoin. Bagi dengan determinan 1 untuk memperoleh invers. Baris pertamanya berarti harga pensil $= 7 - 5 = 2$ ; baris keduanya harga buku $= - 7 + 2 (5) = 3$ .

Cara lain mencari satu harga setiap kali adalah mengganti kolom barang itu dengan pembayaran, menghitung determinan baru, lalu membaginya dengan determinan semula. Kolom pensil memberi 2, kolom buku memberi 3. Inilah aturan Cramer. Adjoin dan Cramer mengolah informasi yang sama dengan susunan langkah berbeda; keduanya memerlukan determinan semula tidak nol.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: kofaktor $Q$ membentuk $C = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$ . Transpos kofaktor adalah adjoin, $adj (Q) = C^{T}$ . Karena determinannya 1, invers sama dengan adjoin dan mengembalikan harga 2 dan 3.

Secara umum $A adj (A) = det (A) I$ dan $A^{- 1} = adj (A) / det A$ jika determinan tidak nol. Adjoin klasik di sini adalah transpos kofaktor.

Dalam aturan Cramer, $A_{j}$ diperoleh dengan mengganti kolom ke- $j$ oleh $b$ , lalu $x_{j} = det (A_{j}) / det A$ . Untuk belanja, determinan pengganti kolom pertama adalah $det [\begin{matrix} 7 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix}] = 2$ ; kolom kedua memberi $det [\begin{matrix} 2 & 7 \\ 1 & 5 \end{matrix}] = 3$ . Bagi keduanya dengan 1. Cramer memerlukan sistem persegi dengan determinan koefisien tidak nol.