Koordinat garis dan posisi dua garis

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Siswa berjalan dari asal mengikuti arah $(3, 4, 0)$ . Pada setengah perpindahan ia di $(1.5, 2, 0)$ ; pada satu perpindahan di $(3, 4, 0)$ . Semua titik jalurnya memenuhi $x / 3 = y / 4$ dan $z = 0$ .

Bentuk parameter memakai pengali bersama $t$ . Bentuk koordinat menghilangkan $t$ dan langsung menghubungkan koordinat titik. Komponen arah nol berarti koordinat tetap, sehingga tidak boleh ditulis sebagai penyebut nol.

Untuk dua lintasan, arah sama tidak berarti tempat sama: dua garis pada ubin berbeda dapat sejajar. Arah berbeda juga belum menjamin perpotongan di ruang tiga dimensi karena satu garis dapat lebih tinggi. Kita harus mencari apakah ada satu titik yang memenuhi kedua persamaan garis sekaligus.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: garis gerak dari asal dengan arah $(3, 4, 0)$ mempunyai $x = 3 t, y = 4 t, z = 0$ . Karena arah vertikal nol, jangan menulis pecahan $z / 0$ . Bentuk koordinatnya $x / 3 = y / 4$ disertai $z = 0$ .

Dari $r = a + t u$ diperoleh $x = a_{1} + t u_{1}$ , $y = a_{2} + t u_{2}$ , $z = a_{3} + t u_{3}$ . Jika semua komponen arah tak nol, bentuk simetrisnya

\frac{x - a_{1}}{u_{1}} = \frac{y - a_{2}}{u_{2}} = \frac{z - a_{3}}{u_{3}} .

Jika suatu komponen nol, koordinat itu tetap. Dua garis sejajar jika arah saling berkelipatan; periksa satu titik untuk membedakan sejajar berbeda dari berimpit. Jika tidak sejajar, selesaikan $a + s u = b + t v$ . Jika ada solusi, berpotongan; jika tidak, bersilangan. Arah dengan hasil titik nol belum membuktikan kedua garis bertemu; perpotongan harus diperiksa tersendiri.