Normal bidang dan hubungan geometri

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Lantai dapat dijelaskan dengan dua arah permukaannya: kanan dan depan. Cara lain adalah menyebut satu titik lantai dan satu arah tegak lurusnya. Arah tegak lurus ini disebut normal, misalnya $n = (0, 0, 1)$ .

Jika lantai melalui asal, setiap titiknya mempunyai koordinat vertikal nol, sehingga $n \cdot (x, y, z) = z = 0$ . Jika lantai dinaikkan satu meter, titik pangkalnya $a = (0, 0, 1)$ . Sekarang perpindahan dari $a$ ke titik bidang yang harus tidak memiliki komponen normal: $n \cdot (r - a) = 0$ , yaitu $z - 1 = 0$ .

Titik pangkal menentukan di mana bidang berada; normal menentukan arah hadapnya. Garis searah normal menembus bidang secara tegak lurus. Garis mendatar masih perlu diperiksa titiknya untuk membedakan berada di bidang dan sejajar di luar bidang.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: lantai melalui asal memiliki normal $n = (0, 0, 1)$ . Semua perpindahan di lantai memenuhi $n \cdot r = z = 0$ . Jika lantai dinaikkan ke titik $a = (0, 0, 1)$ , persamaannya $n \cdot (r - a) = z - 1 = 0$ .

Untuk bidang melalui $a$ dengan arah independen $u, v$ , ambil $n = u \times v \neq 0$ . Persamaan normalnya

n \cdot (r - a) = 0 ⟺ n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = n \cdot a .

Normal sejajar memberi dua bidang sejajar atau berimpit; normal ortogonal memberi dua bidang tegak lurus. Arah garis $u$ sejajar bidang jika $u \cdot n = 0$ ; periksa titik untuk membedakan garis berada di bidang atau sejajar di luar. Garis tegak lurus bidang jika arahnya sejajar normal. Untuk mencari potong garis–bidang, substitusikan $r = a + t u$ ke persamaan bidang dan selesaikan $t$ , sambil memeriksa koefisien $t$ nol.