Panjang, jarak, vektor satuan, dan sudut

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Siswa bergerak 3 meter ke kanan dan 4 meter ke depan. Mengikuti dua sisi ubin memberi lintasan 7 meter, tetapi jarak lurus dari awal ke akhir adalah $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ meter. Panjang vektor menyatakan jarak lurus ini.

Untuk memberikan arah tanpa menetapkan panjang perjalanan, bagi setiap komponen dengan 5. Vektor $(3 / 5, 4 / 5, 0)$ panjangnya satu, sehingga disebut vektor satuan. Kalikan kembali dengan 5 untuk memperoleh perpindahan semula.

Seberapa miring arah gerak terhadap arah kanan? Sisi searah kanan 3 dan sisi miring 5, jadi kosinus sudutnya $3 / 5$ . Perkalian titik menghubungkan komponen, panjang, dan sudut ini dalam satu aturan yang juga dapat dipakai ketika arah acuannya bukan sumbu koordinat.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: gerakan $u = (3, 4, 0)$ meter menempuh perpindahan lurus $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ meter. Vektor satuannya $(3 / 5, 4 / 5, 0)$ menunjukkan arah tanpa menyimpan panjang 5. Untuk membandingkan dengan arah kanan $v = (1, 0, 0)$ , perkalian titik memberi $u \cdot v = 3$ dan $\cos θ = 3 / 5$ .

Rumus umum:

u \cdot v = \sum_{i} u_{i} v_{i}, ∥ u ∥ = \sqrt{u \cdot u}, d (P, Q) = ∥ q - p ∥,

\hat{u} = \frac{u}{∥ u ∥} (u \neq 0), \cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} (u, v \neq 0) .

Hasil titik positif berarti sudut lancip, negatif tumpul, nol siku-siku bagi dua vektor tak nol. Vektor nol ortogonal terhadap semua vektor secara aljabar, tetapi tidak mempunyai arah atau sudut. Titik komutatif, distributif, dan linear terhadap skalar. Ketaksamaan Cauchy–Schwarz adalah $| u \cdot v | \leq ∥ u ∥ ∥ v ∥$ ; akibatnya panjang memenuhi ketaksamaan segitiga $∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥$ .