KB 2 — Validitas, saksi, dan contoh penyangkal

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Guru mengatakan “Jika semua siswa membayar, Ani membayar.” Apa pun jumlah siswa dan cara menentukan siapa yang membayar, Ani termasuk siswa dalam domain. Sebaliknya, dari “Ada siswa membayar”, kita tidak dapat memastikan semua siswa membayar; cukup bayangkan Ani sudah membayar dan Beni belum.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP. Sesuai konvensi BMP, validitas predikat di sini diterapkan pada kalimat tertutup: benar pada semua interpretasi yang sah atas setiap domain tidak kosong. Nilai benar pada satu domain belum merupakan bukti validitas. Contoh pola:

\forall x p (x) \Rightarrow p (a), p (a) \Rightarrow \exists x p (x) .

Bukti kedua: andaikan implikasi salah; $p (a)$ benar dan $\exists x p (x)$ salah. Salahnya eksistensial berarti p salah untuk semua objek, termasuk objek yang ditunjuk a. Ini bertentangan dengan $p (a)$ benar.

Negasi kuantifier:

\neg \forall x F \equiv \exists x \neg F, \neg \exists x F \equiv \forall x \neg F .

Distribusi yang berlaku: $\forall x (F \land G) \equiv (\forall x F) \land (\forall x G)$ dan $\exists x (F \lor G) \equiv (\exists x F) \lor (\exists x G)$ . Jangan menukar jenis konektif secara sembarang. Untuk membantah $\forall x (p (x) \lor q (x)) \Rightarrow (\forall x p (x) \lor \forall x q (x))$ , ambil D= ${0, 1}$ , p hanya benar pada 0 dan q hanya benar pada 1. Semua objek memenuhi p atau q, tetapi tidak semuanya memenuhi p dan tidak semuanya memenuhi q.