Eliminasi Gauss, Gauss–Jordan, dan invers

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Kita ingin satu catatan yang hanya menyebut harga buku, lalu catatan lain yang hanya menyebut harga pensil. Letakkan struk Budi di atas karena jumlah pensilnya satu. Dua kali struk itu menyatakan “2 pensil dan 2 buku berharga 10 ribu”.

Kurangkan dari struk Ani: pensil $2 - 2 = 0$ , buku $1 - 2 = - 1$ , pembayaran $7 - 10 = - 3$ . Persamaan selisihnya $- y = - 3$ , sehingga harga buku 3 ribu.

Cara Gauss berhenti pada susunan bertangga lalu kembali ke struk atas untuk mencari pensil. Cara Gauss–Jordan melanjutkan pembersihan sampai tiap baris langsung memberi satu harga. Untuk mencari aturan balik bagi semua pembayaran, langkah yang sama dilakukan pada matriks yang disambung dengan identitas.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: tukar dua catatan, lalu hilangkan pensil pada catatan kedua:

[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 7 \end{array}] \overset{R_{2} - 2 R_{1}}{\to} [\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 0 & - 1 & - 3 \end{array}] .

Gauss berhenti pada bentuk bertangga, lalu menggunakan substitusi balik: $- y = - 3$ , jadi $y = 3$ ; $x + y = 5$ , jadi $x = 2$ . Gauss–Jordan melanjutkan $R_{2} \leftarrow - R_{2}$ , lalu $R_{1} \leftarrow R_{1} - R_{2}$ , menghasilkan $[I ∣ (2, 3)^{T}]$ . Harga terbaca langsung.

Untuk invers, lakukan OBE pada $[A ∣ I]$ sampai $[I ∣ A^{- 1}]$ . Syaratnya $A$ persegi dan bagian kiri dapat menjadi $I$ . Jika tidak, invers tidak ada. Tidak boleh membagi dengan pivot nol: cari baris untuk ditukar atau pisahkan kasus parameter.