Operasi dan sifat ruang vektor

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Bayangkan ubin kelas bersisi satu meter. Siswa bergerak dua ubin ke kanan dan satu ubin ke depan. Perpindahannya dicatat $(2, 1, 0)$ : kanan 2 meter, depan 1 meter, naik 0 meter.

Namai gerak satu meter ke kanan $e_{1}$ dan satu meter ke depan $e_{2}$ . Gerak siswa adalah $2 e_{1} + e_{2}$ . Mengulang gerak memberi $(4, 2, 0)$ ; berbalik memberi $(- 2, - 1, 0)$ . Menjumlahkan gerak pergi dan gerak balik menghasilkan perpindahan nol.

Cerita ini memperkenalkan jumlah vektor, perkalian skalar, vektor lawan, dan vektor nol. Sifat ruang vektor merangkum aturan yang menjaga operasi tersebut konsisten. Lintasan pergi-pulang memiliki panjang, tetapi perpindahan akhirnya nol: vektor di sini mencatat perubahan posisi, bukan seluruh jarak berjalan.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: pada denah, $e_{1} = (1, 0, 0)$ berarti satu meter ke kanan dan $e_{2} = (0, 1, 0)$ satu meter ke depan. Gerakan $2 e_{1} + e_{2} = (2, 1, 0)$ berarti dua meter ke kanan dan satu ke depan. Jumlah komponen dilakukan searah; skalar negatif berarti arah berlawanan.

Vektor di $R^{3}$ adalah tripel real; di $R^{2}$ adalah pasangan real. Penjumlahan komutatif dan asosiatif, memiliki nol dan lawan. Perkalian skalar memenuhi $k (u + v) = k u + k v$ , $(k + l) u = k u + l u$ , $k (l u) = (k l) u$ , dan $1 u = u$ . Dengan sifat penutupan operasi, inilah dasar struktur ruang vektor real. Bedakan titik sebagai lokasi dan vektor sebagai perpindahan; vektor posisi menghubungkan asal dengan titik.